Archivo mensual: julio 2013

Brevísima historia de los números (III): ¡Nos quedamos sin números!

Éste artículo es el último de una serie que escribí  para Naukas. El original puede verse aquí.

Un concepto tan aparentemente sencillo y directo como es el de número ha sufrido numerosas modificaciones y, sobretodo, ampliaciones, a lo largo de la historia. Podemos afirmar con todo rigor que más de una vez la humanidad se ha quedado sin números, viéndose obligada a inventar números nuevos.

En la anterior entrega de ésta serie hablábamos de la evolución que supuso el salto del concepto muchos a las cantidades concretas.

Desde el punto de vista de la matemática moderna, los números que sirven para contar  (es decir, 1, 2, 3, 4, etc.) se llaman números naturales, y su conjunto se representa con una N estilizada:

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Con el desarrollo del comercio, surgió un problema adicional. Imaginemos que alguien tiene una deuda de 5 monedas, y ninguna moneda en su bolsillo. ¿Cuántas monedas debe ganar para cubrir su deuda y poder decir que tiene 0 monedas?, pues evidentemente 5. Es decir, la cantidad de monedas inicial estaba 5 unidades por debajo de 0. En términos modernos diríamos que el deudor tiene -5 monedas, pero -5 no es un número natural. Hace falta, pues ampliar el conjunto de los números naturales para incluir números negativos. Éste nuevo conjunto se conoce como el de los números enteros, representado por Z:

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Nótese que el conjunto de los enteros contiene al de los naturales, cosa que era de esperar, ya que su propósito es ampliarlo.

Uno de los problemas que tienen los números que hemos visto hasta ahora es que no existe la posibilidad de hacer fracciones. Esto también crea problemas de tipo comercial, como por ejemplo: ¿de qué manera reparto 7 quesos entre 2 personas?  Es necesario pues, ampliar una vez más nuestro conjunto de números para que tenga en cuenta números fraccionarios. Éste conjunto se conoce como el de los números racionales, y se representa como Q:

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A éstas alturas, uno pensaría que ya hemos acabado… pero aún quedan sorpresas. Hay números que, curiosamente, no se pueden expresar como una fracción de números enteros, y por tanto no son números racionales. El primer número de éste tipo del que se tiene constancia es √2, , la hipotenusa de un cuadrilátero de lado 1, estudiado ya por la escuela pitagórica. Otros ejemplos importantes son Π, e y el número áureo. El conjunto que contiene a éstos y a todos los anteriores se conoce como el de los números reales, representado por R.

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Los más interesados en el tema disfrutarán enormemente con ésta entrada anterior, relativa a la cantidad de números reales que existen. La respuesta es sorprendente.

Increíblemente, aún no hemos acabado de ampliar. Hacia 1545, Gerolamo Cardano propuso la existencia de un número de su invención, llamado i, que cumplía la extraordinaria cualidad de ser la raíz cuadrada de -1. Lo bautizó como unidad imaginaria, y lo utilizaba muy rudimentariamente, para poco más que embellecer la notación.

Pese a sus humildes orígenes, el número i ha demostrado ser enormemente versátil, y se usa extensísimamente no solo en matemáticas, sino también en campos tan dispares como la dinámica ondulatoria, el diseño de perfiles de ala o la mecánica cuántica. En resumen, nos es útil, luego lo añadimos a nuestra “gran bolsa de números”. Damos así la bienvenida al conjunto de los números complejos C:

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Como decíamos al principio, la humanidad se ha quedado “corta de números” ¡por lo menos en cuatro ocasiones!

A los más aficionados a las matemáticas les gustará ésta tabla, que relaciona cada nuevo conjunto de números con un problema matemático típico que, sin dicho conjunto, sería irresoluble:

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Y aquí lo dejamos… no sin antes advertir de que: ¡no hemos acabado! Existen ampliaciones de los números complejos, como por ejemplo los cuaterniones… pero a ese nivel las cosas empiezan a ponerse realmente complicadas, fuera del alcance de ésta humilde y brevísima historia de los números.

Fé de erratas: la exponencial de iΠ no está bien colocada en la penúltima figura, pues se trata de un número entero, -1.

Brevísima historia de los números (II): Una palabra para cada número

Segundo artículo de la serie publicada originalmente en Naukas:

El otro día hablábamos aquí de cómo escribir los números. En ésta segunda parte, trataremos un problema muy semejante: si hay infinitos números, ¿cómo hacemos para ponerle un nombre distinto a cada uno?

Rápidamente damos con la respuesta: las palabras que definen los números se construyen a partir de solo unas pocas, de modo parecido a cómo cualquier cifra se puede expresar combinando números del 0 al 9. Así, por ejemplo, para nombrar el número 93 utilizamos la raíz de nueve y la de tres para formar la palabra noventa y tres. Sencillo y lógico, ¿verdad?

Sin embargo, el problema de nombrar los números implica tener previamente un concepto de los mismos, y esto a su vez implica un nivel de abstracción que requiere de cierto desarrollo.

Los antropólogos muestran un razonable acuerdo en que la mayoría de culturas primitivas solamente tenían unos pocos numerales, por ejemplo: una palabra para ninguno, otra para uno, otra para dos, y otra para más de dos.

Uno de los motivos por los que piensan así es que todavía hoy quedan idiomas en los que se da ésta curiosa situación. El caso más conocido es el de los Warlpiri de Australia central. En éste vídeo se ve de manera muy elocuente.

Pero no hace falta irse al outback australiano para encontrar indicios de éste fenómeno: en muchas lenguas modernas, los primeros numerales suelen tener características especiales, lo cual parece indicar un origen aparte del resto de numerales. Echaremos un rápido vistazo a tres lenguas europeas: el español, el portugués y el inglés.

En español el número 1 tiene género (uno y una), pero los demás son neutros. En portugués, el género se extiende también al 2, distinguiendo entre um y uma (uno y una), dois y duas (dos masculino y dos femenino). En inglés todos los números tienen género neutro, y one sirve tanto para uno como para una:

tabla1

Numerales con y sin género

Otra peculiaridad: en español (y de hecho también en las otras tres lenguas analizadas) la raíz de los ordinales y los numerales también es diferente solamente en los dos primeros casos. Me explico: séptimo tiene la misma raíz que siete, pero primero no tiene la misma raíz que uno, y segundo no tiene la misma raíz que dos. En una tabla lo veremos más claramente:

tabla2

Ordinales con sus raíces

Todas estas peculiaridades son indicios de que, durante el desarrollo del lenguaje, estos números “pequeños” se han considerado cualitativamente diferentes al resto.

Brevísima historia de los números (I): ¿Cómo se escriben los números?

                El presente artículo es el primero de una serie de tres artículos breves para Naukas sobre historia de los números. Éste es un asunto complejo y, sobretodo, enormemente extenso. Sus tentáculos alcanzan a ramas del saber tan dispares como la biología, la historia, la antropología, la psicología,… y por supuesto, las matemáticas. Mi propósito es dar una humilde introducción al tema al alcance de todos los públicos, nada más. Y nada menos.

 

La característica más interesante de los números es que hay infinidad de ellos. Esto da lugar a multitud de problemas y sutilezas, pero hoy nos centraremos únicamente en una de ellas: si hay infinitos números, ¿cómo hacemos para representar cada uno de ellos?

La respuesta todos la conocemos: utilizamos solamente unos pocos números (habitualmente del 0 al 9) y con ellos vamos construyendo cualquier otro. Esto es algo que hacemos instintivamente en nuestro día a día, pero que como veremos a continuación tiene su miga. Por ejemplo, si yo escribo 723, lo que realmente quiero decir es:

1

                Utilizando un lenguaje algo más matemático notamos que la posición de cada cifra hace referencia a una potencia de diez:

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                Lo bueno de usar notación matemática es que facilita mucho las cosas cuando se pretenden escribir números un poco más complicados, como por ejemplo 253,78:

3

                Éste sistema de numeración se conoce como base 10 por motivos obvios, y es, con diferencia, el más utilizado. El motivo de la popularidad de éste sistema es puramente casual: se debe al número de dedos que tenemos en las manos.

Otro sistema de numeración bastante importante es el de base 2, que aunque no se utiliza en la vida cotidiana es de vital importancia en electrónica y computación. En dicho sistema solamente utilizamos dos cifras para construir todas las demás, el 0 y el 1 con potencias de 2. Así, por ejemplo, 101 en base 2 significaría:

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y se correspondería con la idea de cinco. Se trata del sistema de numeración posicional con la base más pequeña posible (una base 1 sería inútil, ¿por qué?), y por tanto del más sencillo posible.

Otro sistema interesante muy utilizado en informática es el de base 16 o hexadecimal. En éste sistema, utilizamos 16 símbolos diferentes para los números de 0 a 15. Los primeros, de 0 a 9, son iguales, pero para 10 se usa A, para 11 se usa B, … y para 15 se usa F. Se ve más claro en la siguiente tabla:

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Invito al lector a que mire la clave wifi de su router, o su dirección MAC. Éstas suelen estar compuestas por cifras hexadecimales. Saber esto puede ser útil cuando escribamos la clave en un papel y no sepamos si hemos escrito un cero o una letra O… si la clave es hexadecimal, no puede haber letras O.

A día de hoy sabemos que los antiguos babilonios utilizaban cotidianamente un sistema de numeración de base 60. Esto quiere decir que los números del 0 al 59 tenían su propio símbolo, y que el primer número que necesitaba de dos cifras era el 60. Los babilonios consideraban el 60 un número especialmente útil por ser éste divisible entre una larga lista de números enteros (a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), y esto  es muy deseable cuando no se conocen los números con decimales, como sucedía entonces.

Por cierto, de ésta querencia babilónica por el número 60 hemos heredado la costumbre de dividir la circunferencia en 360 grados, que es seis veces sesenta.

España no es un país capitalista

Últimamente no dejamos de oír que los recientes derroteros que está tomando la política española están sirviendo para hacer más ricos a los ricos, más pobres a los pobres… e incluso a los que antes no lo eran tanto. Son muchas las voces que se alzan contra lo que llaman “capitalismo brutal” o “liberalismo desatado”.

Sin embargo, si lo analizamos fríamente, veremos que el sistema económico que funciona en España tiene más, pero mucho más de feudal que de capitalista. Es importante que quede claro, que haya ricos no significa que haya capitalismo… de hecho, cualquier sistema económico que se haya ensayado hasta el día de hoy da lugar a la aparición de élites.

La primera pregunta que un sistema económico debe responder satisfactoriamente es: ¿por qué yo cobro menos que el jefe? He aquí las respuestas que dan feudalismo y capitalismo:

Feudalismo: porque el jefe pertenece a una casta superior, la nobleza, desde su nacimiento.
Capitalismo: porque el jefe se arriesga a perder su dinero con éste negocio, y tú, al ser un asalariado, tienes el sueldo garantizado.

Vemos, pues, que el corazón del capitalismo está, al menos en teoría, en el riesgo que supone una inversión. Entonces, ¿es capitalista rescatar negocios quebrados con dinero público?, rotundamente: NO. ¿Se rescata cualquier negocio en quiebra, o solamente algunos privilegiados?: solamente a algunos privilegiados. ¿Hay, entonces, una casta superior?: tal parece.

Otra de las pregonadas virtudes del capitalismo es que tiende a promocionar a los más válidos. ¿Es compatible entonces un sistema capitalista con una patochada de la altura del caso Carromero?… y eso por no hablar de la horda de incompetentes que se han visto encumbrados recientemente.

Continuemos con otro ejemplo: el aeropuerto de Castellón. Como muchas otras obras públicas, existe un contrato según el cual en caso de que no haya viajeros, el estado debe pagar unos mínimos al aeropuerto. ¿Riesgo?, no… luego tampoco capitalismo. Los dueños del aeropuerto han sido ungidos por los dioses, no hay más que hablar.

Pero, ¿y las privatizaciones de hospitales?, ¿no es eso capitalista? La respuesta es que solamente lo es si se hacen de verdad, pero, ¿ha visto alguno de vosotros que un hospital salga a subasta?, ¿o que, una vez privatizado, el estado se haya desentendido de él? No, claro que no. Lo que se ha privatizado es la gestión, ¿qué significa ésto?, pues que hemos adoptado el modelo neofeudal del siguiente diagrama:

diagrama

Pulse para ampliar

Como puede verse, no hay mucha diferencia entre conceder la gestión de un hospital, y conceder unos terrenos en la Champaña en el siglo XIV. Es un chollo, sin riesgo. Con la diferencia de que para obtener unos terrenos en el siglo XIV, al menos era necesario haber ido a la guerra.

En resumen, el espectáculo al que estamos asistiendo es aún peor que el capitalismo.

Una anécdota de ciencia y democracia

Artículo publicado originalmente en Naukas.

Me sucedió durante un curso de Astronomía, y juro que es una anécdota real.

La profesora lanzó una pregunta a la clase (que podéis ver, y responder, aquí)*, y para tantear a su alumnado, nos hizo votar a mano alzada entre dos respuestas posibles. El curso había empezado hacía poco y muchos apenas habían tenido tiempo de estudiar, de modo que un 75% de los estudiantes votó a la respuesta incorrecta.

mano alzada

La profesora apuntó cuidadosamente los resultados de la votación en la pizarra, y después nos explicó que la mayoría se había equivocado. Nos explicó el motivo, y por segunda vez nos aclaró que la respuesta correcta era la minoritaria. Tachó la incorrecta.

Para uno de mis compañeros, esto fue demasiado. Se puso en pie y gritó: “¡pero si ha ganado la otra!”. Las carcajadas fueron generales, pero duraron poco… el tiempo justo que tardamos en darnos cuenta de que el chico no estaba de cachondeo.

Airado y mascullando, se marchó de clase con grandes zancadas y dando un portazo. No volvimos a verle.

Editado el 3 de Enero de 2014: la respuesta correcta es NO. El enunciado solamente es cierto para puntos situados al Norte del trópico de Cáncer, no para todo el hemisferio Norte.

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