Brevísima historia de los números (III): ¡Nos quedamos sin números!

Éste artículo es el último de una serie que escribí  para Naukas. El original puede verse aquí.

Un concepto tan aparentemente sencillo y directo como es el de número ha sufrido numerosas modificaciones y, sobretodo, ampliaciones, a lo largo de la historia. Podemos afirmar con todo rigor que más de una vez la humanidad se ha quedado sin números, viéndose obligada a inventar números nuevos.

En la anterior entrega de ésta serie hablábamos de la evolución que supuso el salto del concepto muchos a las cantidades concretas.

Desde el punto de vista de la matemática moderna, los números que sirven para contar  (es decir, 1, 2, 3, 4, etc.) se llaman números naturales, y su conjunto se representa con una N estilizada:

1

Con el desarrollo del comercio, surgió un problema adicional. Imaginemos que alguien tiene una deuda de 5 monedas, y ninguna moneda en su bolsillo. ¿Cuántas monedas debe ganar para cubrir su deuda y poder decir que tiene 0 monedas?, pues evidentemente 5. Es decir, la cantidad de monedas inicial estaba 5 unidades por debajo de 0. En términos modernos diríamos que el deudor tiene -5 monedas, pero -5 no es un número natural. Hace falta, pues ampliar el conjunto de los números naturales para incluir números negativos. Éste nuevo conjunto se conoce como el de los números enteros, representado por Z:

2

Nótese que el conjunto de los enteros contiene al de los naturales, cosa que era de esperar, ya que su propósito es ampliarlo.

Uno de los problemas que tienen los números que hemos visto hasta ahora es que no existe la posibilidad de hacer fracciones. Esto también crea problemas de tipo comercial, como por ejemplo: ¿de qué manera reparto 7 quesos entre 2 personas?  Es necesario pues, ampliar una vez más nuestro conjunto de números para que tenga en cuenta números fraccionarios. Éste conjunto se conoce como el de los números racionales, y se representa como Q:

3

A éstas alturas, uno pensaría que ya hemos acabado… pero aún quedan sorpresas. Hay números que, curiosamente, no se pueden expresar como una fracción de números enteros, y por tanto no son números racionales. El primer número de éste tipo del que se tiene constancia es √2, , la hipotenusa de un cuadrilátero de lado 1, estudiado ya por la escuela pitagórica. Otros ejemplos importantes son Π, e y el número áureo. El conjunto que contiene a éstos y a todos los anteriores se conoce como el de los números reales, representado por R.

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Los más interesados en el tema disfrutarán enormemente con ésta entrada anterior, relativa a la cantidad de números reales que existen. La respuesta es sorprendente.

Increíblemente, aún no hemos acabado de ampliar. Hacia 1545, Gerolamo Cardano propuso la existencia de un número de su invención, llamado i, que cumplía la extraordinaria cualidad de ser la raíz cuadrada de -1. Lo bautizó como unidad imaginaria, y lo utilizaba muy rudimentariamente, para poco más que embellecer la notación.

Pese a sus humildes orígenes, el número i ha demostrado ser enormemente versátil, y se usa extensísimamente no solo en matemáticas, sino también en campos tan dispares como la dinámica ondulatoria, el diseño de perfiles de ala o la mecánica cuántica. En resumen, nos es útil, luego lo añadimos a nuestra “gran bolsa de números”. Damos así la bienvenida al conjunto de los números complejos C:

5

Como decíamos al principio, la humanidad se ha quedado “corta de números” ¡por lo menos en cuatro ocasiones!

A los más aficionados a las matemáticas les gustará ésta tabla, que relaciona cada nuevo conjunto de números con un problema matemático típico que, sin dicho conjunto, sería irresoluble:

6

Y aquí lo dejamos… no sin antes advertir de que: ¡no hemos acabado! Existen ampliaciones de los números complejos, como por ejemplo los cuaterniones… pero a ese nivel las cosas empiezan a ponerse realmente complicadas, fuera del alcance de ésta humilde y brevísima historia de los números.

Fé de erratas: la exponencial de iΠ no está bien colocada en la penúltima figura, pues se trata de un número entero, -1.

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