Archivo mensual: noviembre 2013

Hermano Mayor

Para aquellos que no lo conozcan, Hermano Mayor es un reality show que se emite en España. Trata de un tipo llamado Pedro que visita a chavales conflictivos para intentar arreglar sus vidas, aplicando la experiencia de su propia juventud cuasi-criminal.

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El reto del cuadrado

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

Un millonario ruso conoció a unos pilotos de rally durante el París-Dakar, y decidió ofrecerles participar en una apuesta. Los términos eran los siguientes: si los pilotos eran capaces de conducir su coche campo a través en una trayectoria cuadrada de 500 km de lado, les pagaría una enorme suma de dinero. Si no eran capaces, tendrían que entregarle su coche. El millonario aclaró que sería flexible con las pequeñas curvas que pudiese haber en la trayectoria debidas a los obstáculos que encontrasen por el camino, pero que al menos las cuatro esquinas debían estar bien colocadas. Además, les daría dos oportunidades, y podrían parar a dormir y descansar tantas veces como lo necesitasen.

Los pilotos accedieron, y el millonario se ocupó de buscar una zona lo suficientemente despejada de la estepa siberiana para utilizarla en su extraño juego, y de hacer llegar a los pilotos y su vehículo. Llevarían cuatro banderas equipadas con un GPS para dejarlas colocadas en las cuatro esquinas.

Los pilotos colocaron la primera bandera en el punto de partida, recorrieron 500 km en dirección Norte y colocaron la segunda.

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Seguidamente, pusieron rumbo al Este, y recorrieron otros 500 km.

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Y a continuación, recorrieron otros 500 km en dirección Sur.

t3

Las cuatro banderas ya estaban colocadas. Pusieron rumbo Oeste, de muy buen humor, para regresar al punto de partida y reclamar su premio… pero se les borró la sonrisa cuando el cuentakilómetros marcó 500 km desde la última bandera antes de que hubiesen llegado a su destino. Asustados, pensaron que quizá se habían perdido en un entorno tan hostil como la estepa siberiana, pero por suerte el susto les duró poco tiempo: el punto de partida solamente estaba un poco más adelante. Concretamente, habían recorrido 501.47 km desde la última bandera, ¿cómo era posible?

Seguramente, pensaron, con el entusiasmo se habían desviado ligeramente del camino recto… sin embargo, el análisis del GPS de las banderas mostró que, efectivamente, una de las distancias estaba mal.

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Éste primer viaje les sirvió para aprender dos lecciones. La primera era poner mucha más atención a las trayectorias, y la segunda era intentar no subir tan al Norte, pues habían sufrido un frío helador. El segundo viaje lo harían empezando en dirección Sur. Ésta fue su trayectoria cuando ya habían colocado las cuatro banderas:

t5

Ésta vez emprendieron el viaje de regreso con mucha más cautela, no podían permitirse errores. Mantuvieron escrupulosamente la dirección Oeste, sin dejar de mirar los sistemas de navegación… pero lo que sucedió a continuación los dejó completamente helados: solamente habían recorrido 498.5 km, ¡y ya habían llegado al punto de partida!

t6

El ruso se les acercó y les mostró el análisis de los GPS de las banderas. No había ningún error, las medidas eran correctas… y se quedó con el coche. Les acompañó al pueblo más cercano, y les pagó el billete de autobús hasta un aeropuerto próximo. Cuando se despidieron, uno de los pilotos dijo: “has ganado, maldito bribón, pero dinos, ¿cuál era el truco?”.

Y el ruso respondió: “el truco lo habéis hecho vosotros, al olvidaros de que vivís en un una gigantesca esfera”.

Una explicación más detallada

de lo sucedido sería la siguiente. Tomemos, por ejemplo, el viaje que comienza en dirección Norte:

t7

La clave del asunto está en que los caminos en dirección Sur-Norte (o viceversa) se hacen a lo largo de círculos máximos con radio igual al radio de la Tierra. En cambio, los radios de los círculos Oeste-Este (o viceversa) dependen de la latitud.

esfera

Si tomamos como punto de partida las coordenadas (θ,φ) (latitud y longitud), el incremento en latitud del tramo en dirección Norte verificará:

s = R_ {Tierra}\cdot \Delta \theta

Por otro lado, el incremento de longitud en el tramo con dirección Oeste verificará:

s = R_ {Tierra} \cdot \cos(\theta + \Delta \theta) \cdot \Delta \phi

y el del tramo con dirección Este es, ignorando signos:

s' = R_ {Tierra} \cdot \cos(\theta) \cdot \Delta \phi

Para llegar al punto de partida y cerrar el cuadrado es necesario volver a la latitud y longitud originales, de modo que los incrementos de φ en cada etapa deben ser iguales. Tenemos pues:

\frac{s'}{s} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta+\Delta \theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta+\frac{s}{R_{Tierra}})}

Si se comienza el camino en dirección Sur, el resultado solamente cambia en el signo del incremento de la latitud.

Por cierto, la elección de Siberia no ha sido casual. El efecto es más grande en latitudes extremas. ¿La razón?, que un “cuadrado” en coordenadas (θ,φ) se parece más a un cuadrado plano cerca del Ecuador que cerca del polo. Éste es el motivo esencial por el cual muchas proyecciones cartográficas distorsionan mucho las distancias en latitudes extremas.

Por cierto, la estrategia seguida por los pilotos hubiera funcionado únicamente si el Ecuador pasase por el centro del cuadrado. Ésto se puede deducir mediante argumentos de simetría, o aplicando la ecuación.

Los resultados numéricos mostrados en el post han sido calculados para latitud 65º N, y con un radio terrestre de 6400 km.

Si te ha gustado puedes votarla aquí, número 17.

Ésta entrada ha sido portada en Menéame.

Son de los nuestros

Tendría yo unos tres años cuando, acompañado por mis padres y mis tíos, viajé por primera vez a Portugal.

pdc

Fuente: Wikipedia

Paseando por Lisboa, nos topamos con un concierto al aire libre en la preciosa Praça do comércio. En el escenario estaba ni más ni menos que la banda de música del ejército rojo, venida de la Unión Soviética. Después de los soviéticos, saldrían al escenario unos fadistas lisboetas.

Mis padres no tenían ganas de escuchar el concierto entero, y mientras se marchaban los rusos y los lusos subían al escenario, aprovecharon para irse.

En un extraño acto de conciencia cultural pro-occidente, el enano de 3 años que yo era se resistió a perderse a los fadistas al grito de: “¡esperad!, ¡que ahora salen los cristianos!”.

Potas y astronautas

Uno de los recuerdos más antiguos que conservo es el de un tipo, borracho perdido, dando tumbos en este callejón de la capital alcarreña:

callejón

A media altura se detuvo, se apoyó en la pared de la derecha y echó una espectacular pota de color rojo intenso.

Por aquel entonces yo debía tener unos 4 años, y pensé que el hombre había vomitado sangre. Ya apuntaba maneras mi inquietud científica: logré convencer a mi padre para que me acompañara a investigar lo sucedido. Sobre el terreno, comprobamos que la vomitona no era de sangre, sino de vino. En mi candidez infantil, esto último me resultó tan extraño como mi primera hipótesis.

Sospecho que fue aquel día cuando comenzó a fraguarse mi fascinación por el acoholismo, las macarradas y la degeneración. Fascinación esta eclipsada únicamente por mi fascinación por la ciencia… que también encontraría su lugar en esa estrecha calle. En la actualidad, en ese mismo callejón hay dos graffitis de astronautas. Concretamente uno de Yuri Gagarin y otro de Bruce McCandless II.

2013-10-19 11.09.33

Es un callejón bastante cutre, pero me encanta.