El reto del cuadrado

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

Un millonario ruso conoció a unos pilotos de rally durante el París-Dakar, y decidió ofrecerles participar en una apuesta. Los términos eran los siguientes: si los pilotos eran capaces de conducir su coche campo a través en una trayectoria cuadrada de 500 km de lado, les pagaría una enorme suma de dinero. Si no eran capaces, tendrían que entregarle su coche. El millonario aclaró que sería flexible con las pequeñas curvas que pudiese haber en la trayectoria debidas a los obstáculos que encontrasen por el camino, pero que al menos las cuatro esquinas debían estar bien colocadas. Además, les daría dos oportunidades, y podrían parar a dormir y descansar tantas veces como lo necesitasen.

Los pilotos accedieron, y el millonario se ocupó de buscar una zona lo suficientemente despejada de la estepa siberiana para utilizarla en su extraño juego, y de hacer llegar a los pilotos y su vehículo. Llevarían cuatro banderas equipadas con un GPS para dejarlas colocadas en las cuatro esquinas.

Los pilotos colocaron la primera bandera en el punto de partida, recorrieron 500 km en dirección Norte y colocaron la segunda.

t1

Seguidamente, pusieron rumbo al Este, y recorrieron otros 500 km.

t2

Y a continuación, recorrieron otros 500 km en dirección Sur.

t3

Las cuatro banderas ya estaban colocadas. Pusieron rumbo Oeste, de muy buen humor, para regresar al punto de partida y reclamar su premio… pero se les borró la sonrisa cuando el cuentakilómetros marcó 500 km desde la última bandera antes de que hubiesen llegado a su destino. Asustados, pensaron que quizá se habían perdido en un entorno tan hostil como la estepa siberiana, pero por suerte el susto les duró poco tiempo: el punto de partida solamente estaba un poco más adelante. Concretamente, habían recorrido 501.47 km desde la última bandera, ¿cómo era posible?

Seguramente, pensaron, con el entusiasmo se habían desviado ligeramente del camino recto… sin embargo, el análisis del GPS de las banderas mostró que, efectivamente, una de las distancias estaba mal.

t4

Éste primer viaje les sirvió para aprender dos lecciones. La primera era poner mucha más atención a las trayectorias, y la segunda era intentar no subir tan al Norte, pues habían sufrido un frío helador. El segundo viaje lo harían empezando en dirección Sur. Ésta fue su trayectoria cuando ya habían colocado las cuatro banderas:

t5

Ésta vez emprendieron el viaje de regreso con mucha más cautela, no podían permitirse errores. Mantuvieron escrupulosamente la dirección Oeste, sin dejar de mirar los sistemas de navegación… pero lo que sucedió a continuación los dejó completamente helados: solamente habían recorrido 498.5 km, ¡y ya habían llegado al punto de partida!

t6

El ruso se les acercó y les mostró el análisis de los GPS de las banderas. No había ningún error, las medidas eran correctas… y se quedó con el coche. Les acompañó al pueblo más cercano, y les pagó el billete de autobús hasta un aeropuerto próximo. Cuando se despidieron, uno de los pilotos dijo: “has ganado, maldito bribón, pero dinos, ¿cuál era el truco?”.

Y el ruso respondió: “el truco lo habéis hecho vosotros, al olvidaros de que vivís en un una gigantesca esfera”.

Una explicación más detallada

de lo sucedido sería la siguiente. Tomemos, por ejemplo, el viaje que comienza en dirección Norte:

t7

La clave del asunto está en que los caminos en dirección Sur-Norte (o viceversa) se hacen a lo largo de círculos máximos con radio igual al radio de la Tierra. En cambio, los radios de los círculos Oeste-Este (o viceversa) dependen de la latitud.

esfera

Si tomamos como punto de partida las coordenadas (θ,φ) (latitud y longitud), el incremento en latitud del tramo en dirección Norte verificará:

s = R_ {Tierra}\cdot \Delta \theta

Por otro lado, el incremento de longitud en el tramo con dirección Oeste verificará:

s = R_ {Tierra} \cdot \cos(\theta + \Delta \theta) \cdot \Delta \phi

y el del tramo con dirección Este es, ignorando signos:

s' = R_ {Tierra} \cdot \cos(\theta) \cdot \Delta \phi

Para llegar al punto de partida y cerrar el cuadrado es necesario volver a la latitud y longitud originales, de modo que los incrementos de φ en cada etapa deben ser iguales. Tenemos pues:

\frac{s'}{s} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta+\Delta \theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta+\frac{s}{R_{Tierra}})}

Si se comienza el camino en dirección Sur, el resultado solamente cambia en el signo del incremento de la latitud.

Por cierto, la elección de Siberia no ha sido casual. El efecto es más grande en latitudes extremas. ¿La razón?, que un “cuadrado” en coordenadas (θ,φ) se parece más a un cuadrado plano cerca del Ecuador que cerca del polo. Éste es el motivo esencial por el cual muchas proyecciones cartográficas distorsionan mucho las distancias en latitudes extremas.

Por cierto, la estrategia seguida por los pilotos hubiera funcionado únicamente si el Ecuador pasase por el centro del cuadrado. Ésto se puede deducir mediante argumentos de simetría, o aplicando la ecuación.

Los resultados numéricos mostrados en el post han sido calculados para latitud 65º N, y con un radio terrestre de 6400 km.

Si te ha gustado puedes votarla aquí, número 17.

Ésta entrada ha sido portada en Menéame.

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15 Respuestas a “El reto del cuadrado

  1. juas, en cuanto el ricachón les propone la apuesta ya estaba con media sonrisilla imaginándome la sorpresa que se iban a llevar. Me ha encantado.

  2. Por eso siempre he odiado a Euclides, el platón de la geometría.
    Nunca ha existido el plano infinito, ni la línea recta infinita, ni el punto infinitesimal; por contra, si existen las pompas de jabón y las burbujas,
    si exite la catenaria y las paralelas terminan cruzándose en algún polo
    y el punto, siempre, siempre ha sido el punto gordo.
    ¡Múerete Euclides!

  3. Pingback: El reto del cuadrado | Los antisistema son:

  4. Se puede completar el ejercicio llegando otro piloto de rally que le ponga por condición que en vez de poner el millonario los vértices del cuadrado, sea él el que los escoje en cualquier lugar de la Tierra. ¿Pensáis que es posible? Doy por supuesto que toda la Tierra se puede recorrer en coche, es decir, supongamos que no hay mares ni accidentes geográficos ni nada que interrumpala circulación del vehículo, como si la Tierre fuese una bola completamente lisa.

    Con este nuevo piloto que le reta, ¿qué ocurrira?

  5. Me temo que no. La condición del reto era dibujar un cuadrado, y “eso” que describes en el penúltimo párrafo no lo es: [extracto de http://www.meneame.net/story/el-reto-del-cuadrado#c-25 ]

    <>

    • […] según lo que dice, sería posible dejar el polo norte justo en el medio del cuadrado moviéndose sólo de este-oeste y norte-sur. Mejor dicho: sólo de este-oeste. Si los paralelos fueran líneas rectas (secciones de círculo máximo, la geodésica en geometría esférica), como nos cuela erróneamente al final el artículo de forma implícita, entonces bastaría con que el coche diese una vuelta al paralelo de longitud 40km soltando una banderita cada 10 km. ¡Bingo, he ahí nuestro cuadrado, isomorfo con una circunferencia o cualquier polígono de esa longitud! :troll:

      Por hacerlo bien, en cualquier punto del planeta, me refiero a seguir geodésicas: podemos seguir los meridianos, pero no los paralelos. Tendremos que irnos desviando un poco al sur o al norte de estos últimos, en función de la parte del globo en la que estemos, de modo que no sería un movimiento este-oeste sin más. Da igual que nos movamos alrededor del ecuador o no.

  6. Siguiendo

    “Por cierto, la estrategia seguida por los pilotos hubiera funcionado únicamente si el Ecuador pasase por el centro del cuadrado. Ésto se puede deducir mediante argumentos de simetría, o aplicando la ecuación.”

    Hay que buscar un nuevo polo(en una esfera tu puede poner el polo donde quieras) de tal forma que el nuevo ecuador pase por donde estés (Siberia), a continuación basta recorrer paralelo al ecuador arriba y abajo para obtener el “cuadrado”.

  7. Y digo yo… ¿qué hubiera pasado si el cuadrado lo hubieran girado 45º sobre su eje? De tal forma que un vértice estuviera apuntando al norte, otro al sur, otro al este y el último al oeste. Tendría un aspecto más romboidal, pero… ¿las diferencias de distancias no se anularían entre sí, en “modo flotante”, por así decirlo, siendo ambas rutas de subida y bajada exactamente iguales?

    • Precisamente esa misma pregunta me hice yo, pero no me dio tiempo a hacer los cálculos exactos a tiempo para el #CarnaMatNoviembre. Además, el artículo ya es bastante denso.

      Aún sin calcular, la intuición me dice que si tiene aspecto de cuadrado sobre el mapa, se cargará las distancias al trasladarlo a la esfera. Bueno, la intuición y el hecho de que la esfera tiene curvatura gaussiana y por tanto no es desarrollable.

  8. Esto es sólo otro intento de engañarnos y hacernos creer que la tierra es rendoda. Nosotros en The Flat Earth Society sabemos que es plana y tenemos pruebas que lo demuestran sin lugar a dudas.
    http://www.theflatearthsociety.org/forum/index.php/topic,58309.0.html?PHPSESSID=041c758e928f3afe0ae3fd86e5bf3eb8#.UpM7WV3uLI8

  9. Pingback: Carnaval de Matemáticas: resumen de la edición 4.12310562 | :: ZTFNews.org

  10. Pingback: Carnaval de Matemáticas | Matemáticas Secundaria

  11. Muy bueno el cuento. Muy interesantes los comentarios. Lo pensaré…

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