Demostrando teorema de Pitágoras cómo lo haría un físico

Ésta entrada participa en el 49º carnaval de física, cuyo blog anfitrión es el Zombi de Schrödinger, y cuya temática versa sobre la física de lo cotidiano.

logo-carnaval-fisicaY añado, la fuente original, de la cuál éste artículo es una mera traducción interpretada, es éste artículo de Science étonnante. La publico aquí con permiso de su autor.

Hoy hablaremos del teorema de Pitágoras y el análisis dimensional, algo que, lo crean ustedes o no, forma parte de la vida cotidiana de gran número de personas (entre las que me cuento). Terminada ésta justificación para colar con calzador el artículo en el presente carnaval, procedo:

Seguro que todos conocéis el teorema de Pitágoras. ¿No te suena?, es aquel de: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triágulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo es una cosa como ésta:

trianguloRectangulo

Como todo el mundo sabe, a los matemáticos les encanta ponerle nombre a cada segmento, a cada ángulo, … En éste caso, solamente nombraremos dos cosas, la hipotenusa y uno de los ángulos no rectángulos:

trianguloRectangulo2

Ahora llega lo bonito: sabemos que si conocemos la hipotenusa c y el ángulo θ el triángulo queda completamente determinado. Ésto quiere decir que no puede haber dos triángulos rectángulos que, siendo diferentes, tengan los mismos c y θ. Sabemos también que todo triángulo rectángulo tiene un área.

De las dos afirmaciones anteriores se deduce que debe existir una función que relacione el área de un triángulo conociendo únicamente cθ, es decir:

ec1Dado que un área debe tener dimensiones de longitud al cuadrado, deducimos que la función debe poseer la siguiente forma funcional:

ec2Si, por último, dividimos el triángulo en dos triangulitos rectángulos de la siguiente manera, obtendremos dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al original:

trianguloRectangulo3

Teniendo en cuenta que el área de las piezas separadas tiene que ser la misma que el área total, y aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

ec3y finalmente:

ec4

Aquellos que hayan tenido paciencia para llegar hasta el final, no me podrán negar que es una forma bonita e ingeniosa de resolver el problema.

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10 Respuestas a “Demostrando teorema de Pitágoras cómo lo haría un físico

  1. yo añadiría elegante, de las de enseñar con el frac puesto

  2. Realmente bonita, sí señor. Me ha encantado.

  3. Demostrando “el” teorema.

    Había leído ya esta manera de demostrarlo en Pseudópodo.

  4. Pingback: Carnaval de la física #49: el nudo | El zombi de Schrödinger

  5. “Dado que un área debe tener dimensiones de longitud al cuadrado, deducimos que la función debe poseer la siguiente forma funcional:..”

    ?? Y por qué se deduce de ahí que la función área tiene la forma C^2f(theta) ?? sólo sabes que el área tiene dimensiones de longitud al cuadrado, pero de ahí a decir que justamente el área va a ser C^2 por una función angular hay un salto al vacío! Hay muchas otras posibles expresiones donde las unidades de C aparecen al cuadrado.
    Resulta que sí, que la conclusión es cierta… pero la deducción es incorrecta!

    • Tengo un poco olvidado el análisis dimensional, y aunque entiendo tu réplica, juraría que mi argumento no es incorrecto.

      La verdad, no se me ocurre ningún otro ejemplo de dependencia funcional en C que sea razonable. Cualquier forma funcional distinta de C^2 requeriría la presencia de una constante con unidades… pienso en algo del tipo cos(C/k), (C + k)^2, etc… Meter constantes adimensionales tipo k · C^2 no introduce nada nuevo, ya que se pueden considerar absorbidas por f(theta).

      Incluso si aceptásemos formas como esas, tenemos maneras de descartarlas utilizando el hecho de que el área de un triángulo debe depender cuadráticamente de su hipotenusa. Ésto es algo bastante directo que se deduce de comparar nuestro triángulo con un paralelepípedo, y éste a su vez con un rectángulo.

    • Demostración algebraica:

      En un triángulo, el área es el la mitad del producto de la base (uno de los lados) por la altura perpendicular a la base: A = b·a/2 (1)

      En este caso, nuestros triángulos son rectángulos y la base es la hipotenusa. Pues bien, la trigonometría demuestra que entre la altura correspondiente a la hipotenusa y el ángulo que queramos tomar hay una relación clara en dos pasos:

      1) Observemos el gráfico final de la entrada, la parte de la izquierda. Fijémonos en el triángulo rectángulo menor cuya hipotenusa sería el cateto indicado como “b”. Para obtener la longitud de “b”, basta aplicar: b = c·sen(theta) (2); pues el seno es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

      2) Pues bien, dentro del triángulo rectángulo menor “b”, la altura respecto a la hipotenusa “auténtica” “c”; esto es, la línea que no tiene nombre; sería el cateto contiguo del ángulo theta. Como en este triángulo la hipotenusa es “b”: a = b·cos(theta) (3); sabiendo por (2) cuánto es “b”; a = c·sen(theta)·cos(theta)

      Bien, pues volvamos a (1) y con la expresión de (3), veamos qué nos queda:

      A = c·c·sen(theta)·cos(theta)/2 = c^2·sen(theta)·cos(theta)/2

      Donde la expresión sen(theta)·cos(theta)/2 puede ser expresada como una función cuya variable es el valor de theta.

  6. Pingback: Carnaval de la física #49: el desenlace | El zombi de Schrödinger

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