Demostrando teorema de Pitágoras cómo lo haría un físico

Ésta entrada participa en el 49º carnaval de física, cuyo blog anfitrión es el Zombi de Schrödinger, y cuya temática versa sobre la física de lo cotidiano.

Y añado, la fuente original, de la cuál éste artículo es una mera traducción interpretada, es éste artículo de Science étonnante. La publico aquí con permiso de su autor.

Hoy hablaremos del teorema de Pitágoras y el análisis dimensional, algo que, lo crean ustedes o no, forma parte de la vida cotidiana de gran número de personas (entre las que me cuento). Terminada ésta justificación para colar con calzador el artículo en el presente carnaval, procedo:

Seguro que todos conocéis el teorema de Pitágoras. ¿No te suena?, es aquel de: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triágulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo es una cosa como ésta:

Como todo el mundo sabe, a los matemáticos les encanta ponerle nombre a cada segmento, a cada ángulo, … En éste caso, solamente nombraremos dos cosas, la hipotenusa y uno de los ángulos no rectángulos:

Ahora llega lo bonito: sabemos que si conocemos la hipotenusa c y el ángulo θ el triángulo queda completamente determinado. Ésto quiere decir que no puede haber dos triángulos rectángulos que, siendo diferentes, tengan los mismos c y θ. Sabemos también que todo triángulo rectángulo tiene un área.

De las dos afirmaciones anteriores se deduce que debe existir una función que relacione el área de un triángulo conociendo únicamente c y θ, es decir:

Dado que un área debe tener dimensiones de longitud al cuadrado, deducimos que la función debe poseer la siguiente forma funcional:

Si, por último, dividimos el triángulo en dos triangulitos rectángulos de la siguiente manera, obtendremos dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al original:

Teniendo en cuenta que el área de las piezas separadas tiene que ser la misma que el área total, y aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

y finalmente:

Aquellos que hayan tenido paciencia para llegar hasta el final, no me podrán negar que es una forma bonita e ingeniosa de resolver el problema.