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Demostrando teorema de Pitágoras cómo lo haría un físico

Ésta entrada participa en el 49º carnaval de física, cuyo blog anfitrión es el Zombi de Schrödinger, y cuya temática versa sobre la física de lo cotidiano.

logo-carnaval-fisicaY añado, la fuente original, de la cuál éste artículo es una mera traducción interpretada, es éste artículo de Science étonnante. La publico aquí con permiso de su autor.

Hoy hablaremos del teorema de Pitágoras y el análisis dimensional, algo que, lo crean ustedes o no, forma parte de la vida cotidiana de gran número de personas (entre las que me cuento). Terminada ésta justificación para colar con calzador el artículo en el presente carnaval, procedo:

Seguro que todos conocéis el teorema de Pitágoras. ¿No te suena?, es aquel de: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triágulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo es una cosa como ésta:

trianguloRectangulo

Como todo el mundo sabe, a los matemáticos les encanta ponerle nombre a cada segmento, a cada ángulo, … En éste caso, solamente nombraremos dos cosas, la hipotenusa y uno de los ángulos no rectángulos:

trianguloRectangulo2

Ahora llega lo bonito: sabemos que si conocemos la hipotenusa c y el ángulo θ el triángulo queda completamente determinado. Ésto quiere decir que no puede haber dos triángulos rectángulos que, siendo diferentes, tengan los mismos c y θ. Sabemos también que todo triángulo rectángulo tiene un área.

De las dos afirmaciones anteriores se deduce que debe existir una función que relacione el área de un triángulo conociendo únicamente cθ, es decir:

ec1Dado que un área debe tener dimensiones de longitud al cuadrado, deducimos que la función debe poseer la siguiente forma funcional:

ec2Si, por último, dividimos el triángulo en dos triangulitos rectángulos de la siguiente manera, obtendremos dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al original:

trianguloRectangulo3

Teniendo en cuenta que el área de las piezas separadas tiene que ser la misma que el área total, y aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

ec3y finalmente:

ec4

Aquellos que hayan tenido paciencia para llegar hasta el final, no me podrán negar que es una forma bonita e ingeniosa de resolver el problema.

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Pintando endomorfismos

Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de matemáticas, cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.

Existe un truco para identificar a los estudiantes de ciencias: si al pronunciar las palabras aplicación lineal, diagonalización de endomorfismos o forma canónica de Jordan un brillo febril, como de terror, cruza por su mirada, eso significa casi con toda seguridad que ha pasado por un curso de álgebra lineal a nivel universitario.

Para muchos, dicha asignatura, común al primer año de carrera de prácticamente cualquier carrera científica o técnica, es el primer encontronazo con matemáticas “de verdad”. Y la experiencia suele ser tirando a traumática… tanto que la mayoría de estudiantes tienen un concepto del álgebra lineal como una asignatura gris y árida.

Pues bien, hoy vamos a hablar aquí de aplicaciones lineales, concretamente de endomorfismos lineales en el plano… con la complicada intención de darles un poco de emoción y colorido.

¿Qué diablos era un endomorfismo lineal?… pues muy sencillo, son funciones que convierten puntos en el plano en otros puntos en el plano (o vectores, si se prefiere)… y que lo hacen de forma lineal.  Suelen expresarse mediante un producto matricial:

LinAp

o lo que es lo mismo:

LinApEx

Su funcionamiento es el siguiente: introducimos un vector x y nos devuelve un vector y. Vamos… que comen vectores x y cagan vectores y.

Por ejemplo, la aplicación lineal siguiente:

Ex1

Transformará el vector (1,2) en el (2,1).

Podemos visualizar ésto como si la aplicación moviese el punto (1,2) a las nuevas coordenadas (2,1). En un abuso de spanglish, se suele decir que la aplicación mapea el punto (1,2) en el punto (2,1):

Vector x en azul. Vector y en verde.

Vector x en azul. Vector y en verde.

Una forma curiosa y bonita de comprender el efecto de una aplicación lineal es mapear varios puntos ubicados sobre un círculo. Por ejemplo, una aplicación de reescalado:

rescalado

O de reescalado y rotación:

Rescalado y rotación

Éste tipo de diagramas no solamente son bonitos estéticamente, si no que son únicos para cada endomorfismo bidimensional, como una firma única e irrepetible. A partir de ellos se pueden estudiar propiedades interesantes, como la invertibilidad o la estabilidad numérica de sistemas de ecuaciones (que, de hecho, fue la motivación profesional que me llevó a empezar a trazarlos), o estimar a ojo los autovectores.

Para terminar, una serie de aplicaciones generadas al azar con resultados más o menos bonitos:

1

2

Y para acabar, dos más, con acertijo incluído: ¿qué representan el par de rectas negras en éstos gráficos?

43

Todos los diagramas han sido generados con ayuda de Matlab. Si alguien quiere el programa para trazar los suyos propios, no tiene más que pedirlo.

El reto del cuadrado

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

Un millonario ruso conoció a unos pilotos de rally durante el París-Dakar, y decidió ofrecerles participar en una apuesta. Los términos eran los siguientes: si los pilotos eran capaces de conducir su coche campo a través en una trayectoria cuadrada de 500 km de lado, les pagaría una enorme suma de dinero. Si no eran capaces, tendrían que entregarle su coche. El millonario aclaró que sería flexible con las pequeñas curvas que pudiese haber en la trayectoria debidas a los obstáculos que encontrasen por el camino, pero que al menos las cuatro esquinas debían estar bien colocadas. Además, les daría dos oportunidades, y podrían parar a dormir y descansar tantas veces como lo necesitasen.

Los pilotos accedieron, y el millonario se ocupó de buscar una zona lo suficientemente despejada de la estepa siberiana para utilizarla en su extraño juego, y de hacer llegar a los pilotos y su vehículo. Llevarían cuatro banderas equipadas con un GPS para dejarlas colocadas en las cuatro esquinas.

Los pilotos colocaron la primera bandera en el punto de partida, recorrieron 500 km en dirección Norte y colocaron la segunda.

t1

Seguidamente, pusieron rumbo al Este, y recorrieron otros 500 km.

t2

Y a continuación, recorrieron otros 500 km en dirección Sur.

t3

Las cuatro banderas ya estaban colocadas. Pusieron rumbo Oeste, de muy buen humor, para regresar al punto de partida y reclamar su premio… pero se les borró la sonrisa cuando el cuentakilómetros marcó 500 km desde la última bandera antes de que hubiesen llegado a su destino. Asustados, pensaron que quizá se habían perdido en un entorno tan hostil como la estepa siberiana, pero por suerte el susto les duró poco tiempo: el punto de partida solamente estaba un poco más adelante. Concretamente, habían recorrido 501.47 km desde la última bandera, ¿cómo era posible?

Seguramente, pensaron, con el entusiasmo se habían desviado ligeramente del camino recto… sin embargo, el análisis del GPS de las banderas mostró que, efectivamente, una de las distancias estaba mal.

t4

Éste primer viaje les sirvió para aprender dos lecciones. La primera era poner mucha más atención a las trayectorias, y la segunda era intentar no subir tan al Norte, pues habían sufrido un frío helador. El segundo viaje lo harían empezando en dirección Sur. Ésta fue su trayectoria cuando ya habían colocado las cuatro banderas:

t5

Ésta vez emprendieron el viaje de regreso con mucha más cautela, no podían permitirse errores. Mantuvieron escrupulosamente la dirección Oeste, sin dejar de mirar los sistemas de navegación… pero lo que sucedió a continuación los dejó completamente helados: solamente habían recorrido 498.5 km, ¡y ya habían llegado al punto de partida!

t6

El ruso se les acercó y les mostró el análisis de los GPS de las banderas. No había ningún error, las medidas eran correctas… y se quedó con el coche. Les acompañó al pueblo más cercano, y les pagó el billete de autobús hasta un aeropuerto próximo. Cuando se despidieron, uno de los pilotos dijo: “has ganado, maldito bribón, pero dinos, ¿cuál era el truco?”.

Y el ruso respondió: “el truco lo habéis hecho vosotros, al olvidaros de que vivís en un una gigantesca esfera”.

Una explicación más detallada

de lo sucedido sería la siguiente. Tomemos, por ejemplo, el viaje que comienza en dirección Norte:

t7

La clave del asunto está en que los caminos en dirección Sur-Norte (o viceversa) se hacen a lo largo de círculos máximos con radio igual al radio de la Tierra. En cambio, los radios de los círculos Oeste-Este (o viceversa) dependen de la latitud.

esfera

Si tomamos como punto de partida las coordenadas (θ,φ) (latitud y longitud), el incremento en latitud del tramo en dirección Norte verificará:

s = R_ {Tierra}\cdot \Delta \theta

Por otro lado, el incremento de longitud en el tramo con dirección Oeste verificará:

s = R_ {Tierra} \cdot \cos(\theta + \Delta \theta) \cdot \Delta \phi

y el del tramo con dirección Este es, ignorando signos:

s' = R_ {Tierra} \cdot \cos(\theta) \cdot \Delta \phi

Para llegar al punto de partida y cerrar el cuadrado es necesario volver a la latitud y longitud originales, de modo que los incrementos de φ en cada etapa deben ser iguales. Tenemos pues:

\frac{s'}{s} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta+\Delta \theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta+\frac{s}{R_{Tierra}})}

Si se comienza el camino en dirección Sur, el resultado solamente cambia en el signo del incremento de la latitud.

Por cierto, la elección de Siberia no ha sido casual. El efecto es más grande en latitudes extremas. ¿La razón?, que un “cuadrado” en coordenadas (θ,φ) se parece más a un cuadrado plano cerca del Ecuador que cerca del polo. Éste es el motivo esencial por el cual muchas proyecciones cartográficas distorsionan mucho las distancias en latitudes extremas.

Por cierto, la estrategia seguida por los pilotos hubiera funcionado únicamente si el Ecuador pasase por el centro del cuadrado. Ésto se puede deducir mediante argumentos de simetría, o aplicando la ecuación.

Los resultados numéricos mostrados en el post han sido calculados para latitud 65º N, y con un radio terrestre de 6400 km.

Si te ha gustado puedes votarla aquí, número 17.

Ésta entrada ha sido portada en Menéame.

Borracheras no lineales

Así se enseña el concepto matemático de no linealidad en mi antigüa facultad:

“Imagina que sales de juerga una noche y te tomas un whisky. ¿Bebes con la idea de pasarlo bien, verdad?

Si bebes dos whiskys, probablemente lo pases mejor… pongamos, dos veces mejor. ¿Lo pasarás tres veces mejor si bebes tres?, ¿y cuatro veces mejor si bebes cuatro? No está tan claro. Vayamos a un ejemplo más dramático, ¿lo pasarás veinte veces mejor si bebes veinte whiskys?

Seguramente no, probablemente incluso te mueras. De manera que la relación entre el número de whiskys y la diversión es claramente no lineal.”

El alegre bebedor, de Frans Hals

El alegre bebedor, de Frans Hals

Puede ser una buena excusa para la próxima vez que se emborrachen más de la cuenta: pensé que la aproximación de primer orden sería suficiente, pero olvidé calcular el error de la expansión de Taylor.

El poder de una idea sencilla

La Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU me ha hecho el enorme honor de publicar un artículo mío en su blog, Cuaderno de Cultura Científica. Se trata de un artículo divulgativo, se titula El poder de una idea sencilla, y comienza así:

Al contrario de lo que la mayoría de la gente cree, las matemáticas no se ocupan solamente de cálculos tediosos y complicados. La práctica de las matemáticas consiste, fundamentalmente, en pensar y desarrollar ideas. Estas ideas, mucho más a menudo de lo que imagina el lego, son realmente sencillas, y no requieren de ninguna formación previa para ser comprendidas e incluso aplicadas. Curiosamente, las ideas más sencillas de la historia de las matemáticas han dado frutos enormes.

Sigue leyendo en Cuaderno de cultura científica.

El misterio del aliasing callejero

Artículo publicado originalmente en Naukas:

Una anécdota real:

Una de las tareas principales de la ciencia consiste en obtener conclusiones a partir de observaciones. A primera vista esto parece sencillo, pero es un problema colosal y lleno de sutilezas. La siguiente anécdota ilustra bastante bien una de ellas:

En cierta ocasión, hace ya unos treinta años, una amiga mía estuvo trabajando en un pueblo de provincias. Todos los días, después del trabajo, salía a dar un paseo. Desde el primer día, notó que la gente con la que se cruzaba durante su paseo vespertino tenía un aspecto muy peculiar… casi todos eran extraños y desaliñados, y se comportaban de forma poco habitual.

Al principio no dijo nada por educación, pero finalmente la curiosidad pudo con ella, y comentó sus observaciones con algunos compañeros de trabajo. A sus compañeros, muchos de los cuales también eran foráneos, les pareció extraño, pues ellos jamás habían notado nada raro en los habitantes del lugar.

Pasaron los días y mi amiga siguió observando, casi con incredulidad, lo peculiar que era la gente con la que se topaba en su paseo diario. Un día lo comentó con otra amiga, oriunda del pueblo, que enseguida supo resolver el misterio: el paseo de mi amiga era siempre a la misma hora, al salir del trabajo a las 19:00, y casualmente coincidía con el horario en el que los enfermos de un hospital psiquiátrico cercano tenían permitido salir a pasear, de 18:00 a 21:00,… y los pobres, como es lógico, tenían un aspecto y comportamiento muy fuera de lo común.

Sí… sé que no es el ejemplo más políticamente correcto, pero lo cierto es que es eso lo que sucedió. Y lo que es mejor, puede ayudarnos a aprender algo… sobre temas tan aparentemente alejados como el análisis de señales.

Las matemáticas tienen algo que decir:

Ahora que sabemos cuál era la causa de aquel misterio, rápidamente descubrimos cuál es el punto clave del error: que los paseos se produjesen siempre a la misma hora. Parecía una cuestión poco importante, pero como hemos visto, resultó ser totalmente determinante. En ciencia esto se conoce como error de muestreo.

Como veremos a continuación, la idea, aparentemente buena, de muestrear a intervalos periódicos (“cada día a la misma hora”, “cada segundo”, “cada año”, …), puede llevarnos a error con mucha facilidad.

Para entenderlo mejor, vamos a profundizar un poco más:

En el siguiente gráfico se representa la variable “cantidad de gente estrafalaria” en función de la hora del día (una variable bastante estrafalaria, valga la redundancia), teniendo en cuenta que el horario de permiso en el hospital era de 18 a 21:

01

Naturalmente, a un día le sigue otro día, y así sucesivamente. Si representamos varios días  seguidos obtenemos claramente una gráfica que se repite una y otra vez; esto se conoce como comportamiento periódico. Veamos tres días seguidos:

02

El paseo de mi amiga era todos los días a la misma hora (19:00). Si marcamos en rojo los “trozos” del gráfico que ella “veía”, que en lenguaje matemático se llaman puntos de muestreo, obtenemos lo siguiente:

03

De manera que al extrapolar los puntos de muestreo tenía la impresión errónea de que la cantidad de gente estrafalaria a lo largo de todo el día era la siguiente (marcada en rojo):

04

Un caso más serio:

Algo totalmente análogo a lo que le sucedió a mi amiga se estudia ampliamente en el campo del análisis de señales. Se trata de un fenómeno llamado aliasing, relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.

Pasemos ahora a un ejemplo algo más serio, que ilustra realmente el peligro de los muestreos mal realizados. Imaginemos que alguien nos envía, por ejemplo, una señal de radio de forma sinusoidal:

05

La mayoría de los receptores de radio muestrean las señales a intervalos regulares (cada 10 microsegundos, por poner un ejemplo). Intervalos regulares… pero hemos visto en el ejemplo de los paseos que eso tiene sus riesgos.

Un error de muestreo bastante grosero que podríamos cometer es tener la mala suerte, por así decirlo,  de muestrear solamente cuando la señal pasa por un cero… de manera que podríamos pensar que no hay señal en absoluto:

06Otro error más sutil, y por ello más peligroso, es que la separación temporal de nuestros puntos de muestreo sea demasiado grande. Esto puede llevarnos, curiosamente, a pensar que la señal recibida es efectivamente sinusoidal, pero de una frecuencia menor que la real:

07

Dado que la frecuencia de una señal, ya sea de radio o de cualquier otra fuente, es probablemente la característica más importante de la misma, los problemas de muestreo pueden dar lugar a errores graves en telecomunicaciones, electrónica,  procesado de imagen, etcétera.

Y así, las mismas matemáticas aparecen en dos situaciones tremendamente distintas. Inesperadamente, como suelen.

Brevísima historia de los números (III): ¡Nos quedamos sin números!

Éste artículo es el último de una serie que escribí  para Naukas. El original puede verse aquí.

Un concepto tan aparentemente sencillo y directo como es el de número ha sufrido numerosas modificaciones y, sobretodo, ampliaciones, a lo largo de la historia. Podemos afirmar con todo rigor que más de una vez la humanidad se ha quedado sin números, viéndose obligada a inventar números nuevos.

En la anterior entrega de ésta serie hablábamos de la evolución que supuso el salto del concepto muchos a las cantidades concretas.

Desde el punto de vista de la matemática moderna, los números que sirven para contar  (es decir, 1, 2, 3, 4, etc.) se llaman números naturales, y su conjunto se representa con una N estilizada:

1

Con el desarrollo del comercio, surgió un problema adicional. Imaginemos que alguien tiene una deuda de 5 monedas, y ninguna moneda en su bolsillo. ¿Cuántas monedas debe ganar para cubrir su deuda y poder decir que tiene 0 monedas?, pues evidentemente 5. Es decir, la cantidad de monedas inicial estaba 5 unidades por debajo de 0. En términos modernos diríamos que el deudor tiene -5 monedas, pero -5 no es un número natural. Hace falta, pues ampliar el conjunto de los números naturales para incluir números negativos. Éste nuevo conjunto se conoce como el de los números enteros, representado por Z:

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Nótese que el conjunto de los enteros contiene al de los naturales, cosa que era de esperar, ya que su propósito es ampliarlo.

Uno de los problemas que tienen los números que hemos visto hasta ahora es que no existe la posibilidad de hacer fracciones. Esto también crea problemas de tipo comercial, como por ejemplo: ¿de qué manera reparto 7 quesos entre 2 personas?  Es necesario pues, ampliar una vez más nuestro conjunto de números para que tenga en cuenta números fraccionarios. Éste conjunto se conoce como el de los números racionales, y se representa como Q:

3

A éstas alturas, uno pensaría que ya hemos acabado… pero aún quedan sorpresas. Hay números que, curiosamente, no se pueden expresar como una fracción de números enteros, y por tanto no son números racionales. El primer número de éste tipo del que se tiene constancia es √2, , la hipotenusa de un cuadrilátero de lado 1, estudiado ya por la escuela pitagórica. Otros ejemplos importantes son Π, e y el número áureo. El conjunto que contiene a éstos y a todos los anteriores se conoce como el de los números reales, representado por R.

4

Los más interesados en el tema disfrutarán enormemente con ésta entrada anterior, relativa a la cantidad de números reales que existen. La respuesta es sorprendente.

Increíblemente, aún no hemos acabado de ampliar. Hacia 1545, Gerolamo Cardano propuso la existencia de un número de su invención, llamado i, que cumplía la extraordinaria cualidad de ser la raíz cuadrada de -1. Lo bautizó como unidad imaginaria, y lo utilizaba muy rudimentariamente, para poco más que embellecer la notación.

Pese a sus humildes orígenes, el número i ha demostrado ser enormemente versátil, y se usa extensísimamente no solo en matemáticas, sino también en campos tan dispares como la dinámica ondulatoria, el diseño de perfiles de ala o la mecánica cuántica. En resumen, nos es útil, luego lo añadimos a nuestra “gran bolsa de números”. Damos así la bienvenida al conjunto de los números complejos C:

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Como decíamos al principio, la humanidad se ha quedado “corta de números” ¡por lo menos en cuatro ocasiones!

A los más aficionados a las matemáticas les gustará ésta tabla, que relaciona cada nuevo conjunto de números con un problema matemático típico que, sin dicho conjunto, sería irresoluble:

6

Y aquí lo dejamos… no sin antes advertir de que: ¡no hemos acabado! Existen ampliaciones de los números complejos, como por ejemplo los cuaterniones… pero a ese nivel las cosas empiezan a ponerse realmente complicadas, fuera del alcance de ésta humilde y brevísima historia de los números.

Fé de erratas: la exponencial de iΠ no está bien colocada en la penúltima figura, pues se trata de un número entero, -1.