Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de matemáticas, cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.
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Existe un truco para identificar a los estudiantes de ciencias: si al pronunciar las palabras aplicación lineal, diagonalización de endomorfismos o forma canónica de Jordan un brillo febril, como de terror, cruza por su mirada, eso significa casi con toda seguridad que ha pasado por un curso de álgebra lineal a nivel universitario.
Para muchos, dicha asignatura, común al primer año de carrera de prácticamente cualquier carrera científica o técnica, es el primer encontronazo con matemáticas «de verdad». Y la experiencia suele ser tirando a traumática… tanto que la mayoría de estudiantes tienen un concepto del álgebra lineal como una asignatura gris y árida.
Pues bien, hoy vamos a hablar aquí de aplicaciones lineales, concretamente de endomorfismos lineales en el plano… con la complicada intención de darles un poco de emoción y colorido.
¿Qué diablos era un endomorfismo lineal?… pues muy sencillo, son funciones que convierten puntos en el plano en otros puntos en el plano (o vectores, si se prefiere)… y que lo hacen de forma lineal. Suelen expresarse mediante un producto matricial:
o lo que es lo mismo:
Su funcionamiento es el siguiente: introducimos un vector x y nos devuelve un vector y. Vamos… que comen vectores x y cagan vectores y.
Por ejemplo, la aplicación lineal siguiente:
Transformará el vector (1,2) en el (2,1).
Podemos visualizar ésto como si la aplicación moviese el punto (1,2) a las nuevas coordenadas (2,1). En un abuso de spanglish, se suele decir que la aplicación mapea el punto (1,2) en el punto (2,1):
Vector x en azul. Vector y en verde.
Una forma curiosa y bonita de comprender el efecto de una aplicación lineal es mapear varios puntos ubicados sobre un círculo. Por ejemplo, una aplicación de reescalado:
O de reescalado y rotación:
Éste tipo de diagramas no solamente son bonitos estéticamente, si no que son únicos para cada endomorfismo bidimensional, como una firma única e irrepetible. A partir de ellos se pueden estudiar propiedades interesantes, como la invertibilidad o la estabilidad numérica de sistemas de ecuaciones (que, de hecho, fue la motivación profesional que me llevó a empezar a trazarlos), o estimar a ojo los autovectores.
Para terminar, una serie de aplicaciones generadas al azar con resultados más o menos bonitos:
Y para acabar, dos más, con acertijo incluído: ¿qué representan el par de rectas negras en éstos gráficos?
Todos los diagramas han sido generados con ayuda de Matlab. Si alguien quiere el programa para trazar los suyos propios, no tiene más que pedirlo.
Ponga un mostrenco en su vida 
¡Aquí un estudiante de primero de física que intenta sobrevivir a álgebra lineal!
Qué formas tan llamatuvas e interesantes, creo que voy a intentar hacer yo mismo unas cuantas a ver qué tal…
Respecto a tu acertijo, diría que esas gráficas representan un cambio de base de una función lineal, y que esas líneas negras que señalas son las nuevas bases para la función. O eso creo, vaya.
¡Muy buen post!
No vas desencaminado, pero cualquier par de líneas no paralelas y que pasen por (0,0) pueden representar un cambio de base. Se está representando una base en concreto, ¿qué tiene de especial?
Ésta página de applets de GeoGebra te puede ayudar con tu asignatura.
Te recuerdo que soy de química y no habré oído de esto en mi vida. Pero puedo aprender, claro está.
Veamos: básicamente, es una función, pero no relaciona la ordenada con la abcisa, sino que coge un punto y lo transforma en otro. Después, unes el punto original y su resultado (PO y PR).
1) En el primer endomorfismo, diría que las líneas negras pasan por donde el grosor de la figura alcanza sus mínimos y máximos, es decir, cuando el PO y el PR están más cercanos. Por tanto, es cuando la base alcanza, respectivamente, su valor mínimo y máximo.
2) En el segundo, sin embargo, diría que las rectas limitan la zona en que las transformaciones entre el PO y el PR son parecidas a un endomorfismo circular, como el primero del ejemplo. Es decir, cuando las dos coordenadas no son intercambiadas entre sí.
No sé si llevaré algo de razón, pero eso creo.
Efectivamente, es una función que toma pares de coordenadas y devuelve pares de coordenadas. La transformación es, además, lineal (suma de causas produce suma de efectos).
En cuanto a las líneas negras, dos pistas:
1. Representan lo mismo en ambos casos.
2. Tiene que ver con la dirección de la transformación.
Un saludo y gracias por darle vueltas. 🙂
¿La dirección de los autovectores?
¡Exacto!
Joder, debo de estar perdiendo facultades. Los seis años desde que acabé la carrera y los ocasionales períodos de paro me están oxidando. Suma a eso que estoy en un curso on-line y me he entretenido, pero me di cuenta el sábado.
Mi problema ha sido que no me he dado cuenta, catetillo de mí, de que has puesto el eje de ordenadas de modo que cruce al de abcisas en la zona negativa, y que el 0, 0 está en el centro de ambas figuras. Las líneas negras, pues, representan los puntos en que la dirección del vector introducido y la del originado COINCIDEN. Escrito de otra manera, la transformación efectuada sobre las coordenadas del vector original es tal que las dos son divididas por el mismo factor: v = a·i + bj; w = a·i/k + b·j/k
Lo que viene siendo un autovector, vaya.
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